Termodinámica: Proceso Isovolumétrico

Proceso Isovolumétrico 

También conocido como proceso isocórico o isométrico, ocurre a volumen constante, por lo tanto al realizar los cálculos de trabajo (W) éste será igual a 0.

por lo tanto la ecuación 

Por lo tanto la variación de energía interna de dicho proceso será igual a la variación de calor de dicho proceso. Esto nos permite calcular de ambas variables con la siguiente fórmula. 

Donde n es la cantidad de moles del gas que realiza el proceso el proceso y Cv el calor específico a volumen constante. Todo ello multiplicado por la variación de la temperatura. 

Representación matricial de una transformación lineal

Teoremas sobre matrices de transformación lineal 

Para los siguientes teoremas utilizaremos la siguiente notación:rg(A) es el rango de A
v(A) es la nulidad de A
Im(A) es la imagen de A
Nu(A) es el espacio nulo de A

Sea At la matriz de transformación correspondiente a la a la transformación lineal T entonces:

1. Im(T)=Im(At)
2.  rg(T)=rg(At)
3.  v(T)=v(At)
4.  Nu(T)=Nu(At)

Ejercicio: Espacio Generado (Álgebra Lineal)

Hallar el espacio generado por la base S

Sabemos que todo vector de un espacio generado puede escribirse como combinación lineal de los vectores del conjunto generador, consideramos el vector típico

realizamos una combinación lineal y nos queda:

Para que el sistema sea consistente la última fila debe ser igual a cero.

Por lo tanto, el espacio es: 

Ejercicios

Ejercicios 
En esta entrada voy a adjuntar ejercicios que la Escuela Superior Politécnica del Litoral envía a los estudiantes, si presentan alguna dificultad con algunos, escriban en los comentarios para ver que en puedo ayudarles

Combinación lineal e independencia lineal 

1. https://drive.google.com/file/d/0B1N3YzJzxE4WSFc1SUZWRUU3RDg/view?usp=sharing
2. https://drive.google.com/open?id=0B1N3YzJzxE4WQ216YUEtUmJmeFk

Transformaciones Lineales Núcleo e Imagen 

1. https://drive.google.com/open?id=0B1N3YzJzxE4WdTRmUFJLZWhBRUk
2. https://drive.google.com/open?id=0B1N3YzJzxE4WQ216YUEtUmJmeFk

Miscelánea 

https://drive.google.com/open?id=0B1N3YzJzxE4WZnFPZGhJdjZ5QnM

Teoremas sobre Transformaciones Lineales

Teoremas sobre Transformaciones Lineales

Teorema 1: Sea T: V -->W una transformación lineal entonces, para cada V1, V2, V3, ...Vn en V para todos los escalares a1, a2, a3, ...an

1.- T(0v) =0w
2.- T (u - v) = T (u) - T(v)
3.- T(a1V1+a2V2+ a3V3......+anVn) = a1T(V1)+a1T(V1)+ a2T(V2)+a3T(V3)+....anT(Vn)

 

Definiciones Básicas de Álgebra Lineal

Base

Sea V un espacio vectorial, y el conjunto S={  V1, V2, V3, V4, ...., Vn } que pertenece al espacio vectorial V. Se dice que S es una base de V si y sólo si:

• El conjunto S genera todo el espacio vectorial V. 
• El conjunto S está formado por vectores linealmente independientes.  

 Transformación lineal 
Sea V, W dos espacios vectoriales, una transformación lineal T de V a W  es una función que asigna a cada vector de v en V, un único vector T(v)=w en W , y que satisface para cada vector u y v y para cada escalar a lo siguiente: 

T(u+v)=T(u)+T(v)
T(av)= aT(v)

Teoremas sobre espacios asociados a matrices (Álgebra Lineal)

Teoremas sobre espacios asociados a matrices 
Para los siguientes teoremas utilizaremos la siguiente notación:
rg(A) es el rango de A
v(A) es la nulidad de A
R(A) es el espacio fila de matriz A
C(A) es el espacio columna de matriz A

• Sea A una matriz cuadrada entonces A es invertible y sí sólo si v(A) = 0
• Si la matriz A es equivalente por filas con la matriz  B entonces R(A) = R(B)  y v(A) = v(B)
• El rango de la matriz es igual al número de pivotes a la matriz escalonada 

• Sea una matriz A de mxn, rg(A)+v(A) = n

Teoremas sobre independencia lineal (Álgebra Lineal)

Teoremas sobre independencia lineal

• Un conjunto de m vectores en  siempre es linealmente dependiente si m>n. Este teorema se fundamenta en que al realizar la combinación lineal de los vectores m y hallar los escalares se forma una sistema de ecuaciones que posee infinitas soluciones. 
• Sea V1, V2, V3, V4, ...., Vn, Vn+1 vectores en un espacio vectorial V  Si V1, V2, V3, V4, ...., Vn genera V entonces V1, V2, V3, V4, ...., Vn, Vn+1   también genera el espacio vectorial V  

Teorema del emparedado

Es un teorema usado en la determinación del límite de una función. Este teorema enuncia que si dos funciones tienden al mismo límite en un punto, cualquier otra función que pueda ser acotada entre las dos anteriores tendrá el mismo límite en el punto.

El teorema o criterio del sándwich es muy importante en demostraciones de cálculo y análisis matemático. Y es frecuentemente utilizado para encontrar el límite de una función a través de la comparación con otras dos funciones de límite conocido o fácilmente calculable. Fue utilizado por primera vez de forma geométrica por Arquímedes y Eudoxo en sus esfuerzos por calcular π, aunque la formulación moderna fue obra de Gauss.

Sea I un intervalo que contiene al punto a y sean f, g y h funciones definidas en I, exceptuando quizás el mismo punto a. Supongamos que para todox en I diferente de a tenemos:

y supongamos también que:

Entonces:

Fuente:

https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_emparedado

Gráfica de la función seno en el intervalo [0, 2π]

Teoremas de Subespacios Vectoriales

Teoremas sobre subespacios vectoriales 

• Sean H y W dos subespacios vectoriales del espacio vectorial V entonces se cumple  que H∩ W es un subespacio vectorial de V y H+W es un subespacio de V. 
• La suma de H+W es directa sí y sólo si H∩ W = {0v} es decir si dim(H∩ W) = 0
• Sea V un espacio vectorial de dimensión finita, y sea H y W, dos subespacios de V se cumple que dim(H+W) = dim(H)+dim(W) -dim(H∩ W) 

• Sea V un espacio vectorial de dimensión finita, y sea H y W, dos subespacios de V 

H+W C HUW

Primer Teorema Fundamental del Cálculo

Dada una función f integrable sobre el intervalo , definimos F sobre  por . Si f es continua en , entonces F es derivable en  y F'(c) = f(c).

Este teorema puede ser demostrado de la siguiente manera: 

Tenemos la siguiente hipótesis

Sea  integrable sobre  y 

Entonces 

Por definición se tiene que .

Sea h>0. Entonces .

Se define  y  como:

,

Aplicando el 'lema' se observa que

.

Por lo tanto,

Sea . Sean

,

.

Aplicando el 'lema' se observa que

.

Como

,

entonces,

.

Puesto que , se tiene que

.

Y como  es continua en c se tiene que

,

y esto lleva a que

.

+

Partición de un intervalo

En matemáticas, una partición Π de un intervalo cerrado [a, b] en los números reales es una secuencia finita de la forma
a = x₀ < x₁ < x₂ <... < x_n = b.

Estas particiones se utilizan en la teoría de la integral de Riemann y la integral de Riemann-Stieltjes.
Se dice que una partición Π' es más fina que una partición Π cuando Π es un subconjunto de Π', es decir, cuando la partición Π' tiene los mismos puntos que Π y posiblemente alguno más.
Un ejemplo de partición sería el siguiente:

Dado el intervalo [1, 2], una partición de dicho intervalo sería
Π = {}.
Otra posible partición para el mismo intervalo sería

Π' = {}, con Π' más fina que Π, porque 

Integración indefinida

En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f.

Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.

Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce como constante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:

   ó