miércoles, 25 de noviembre de 2015

Primer Teorema Fundamental del Cálculo

Dada una función f integrable sobre el intervalo [a,b], definimos F sobre [a,b] por F(x) = {\int_{a}^x f(t)dt}. Si f es continua en c \in (a,b), entonces F es derivable en c y F'(c) = f(c).
Este teorema puede ser demostrado de la siguiente manera: 


Tenemos la siguiente hipótesis
Sea f integrable sobre [a,b] y m \leq f(x) \leq M \; \forall x \in [a,b]
Entonces m(b-a) \leq {\int_a^b f(t)dt} \leq M(b-a)

Por definición se tiene que F'(c)={ \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{F(c+h)-F(c)}{h}} }.
Sea h>0. Entonces F(c+h)-F(c)={\int_c^{c+h} f(t)dt}.
Se define m_h y M_h como:
m_h = \inf\{f(x)| c\leq x \leq c+h\},
M_h = \sup\{f(x)| c\leq x \leq c+h\}
Aplicando el 'lema' se observa que
m_h \cdot h \leq {\int_c^{c+h} f(t)dt} \leq M_h \cdot h.
Por lo tanto,
m_h \leq \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \leq M_h
Sea h < 0. Sean
{m^*}_h = \inf \{ f(x)|c+h \leq x \leq c \},
{M^*}_h = \sup \{ f(x)|c+h \leq x \leq c \}.
Aplicando el 'lema' se observa que
{m^*}_h \cdot (-h) \leq {\int_{c+h}^c f(t)dt } \leq {M^*}_h \cdot (-h) .
Como
F(c+h)-F(c)={\int_c^{c+h} f(t)dt} = -{\int_{c+h}^{c} f(t)dt},
entonces,
{M^*}_h \cdot h \leq F(c+h)-F(c) \leq {m^*}_h \cdot h.
Puesto que h < 0, se tiene que
{m^*}_h \leq \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \leq {M^*}_h.
Y como f es continua en c se tiene que
\lim_{h \rightarrow 0} m_h = \lim_{h \rightarrow 0} M_h = \lim_{h \rightarrow 0} {m^*}_h = \lim_{h \rightarrow 0} {M^*}_h = f(c),
y esto lleva a que
F'(c)={ \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{F(c+h)-F(c)}{h}} } = f(c).



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