Ejercicios
En esta entrada voy a adjuntar ejercicios que la Escuela Superior
Politécnica del Litoral envía a los estudiantes, si presentan alguna
dificultad con algunos, escriban en los comentarios para ver que en
puedo ayudarles
Sea V un espacio vectorial, y el conjunto S={ V1, V2, V3, V4, ...., Vn} que pertenece al espacio vectorial V. Se dice que S es una base de V si y sólo si:
El conjunto S genera todo el espacio vectorial V.
El conjunto S está formado por vectores linealmente independientes.
Transformación lineal Sea V, W dos espacios vectoriales, una transformación lineal T de Va Wes una función que asigna a cada vectorde v en V, un único vector T(v)=w en W, y que satisface para cada vector u y v y para cada escalar a lo siguiente:
Teoremas sobre espacios asociados a matrices Para los siguientes teoremas utilizaremos la siguiente notación: rg(A) es el rango de A v(A) es la nulidad de A R(A) es el espacio fila de matriz A C(A) es el espacio columna de matriz A
Sea A una matriz cuadrada entonces A es invertible y sí sólo si v(A) = 0
Si la matriz A es equivalente por filas con la matriz B entonces R(A) = R(B) y v(A) = v(B)
El rango de la matriz es igual al número de pivotes a la matriz escalonada
Un conjunto de m vectores en siempre es linealmente dependiente si m>n. Este teorema se fundamenta en que al realizar la combinación lineal de los vectores m y hallar los escalares se forma una sistema de ecuaciones que posee infinitas soluciones.
Sea V1, V2, V3, V4, ...., Vn, Vn+1 vectores en un espacio vectorial V Si V1, V2, V3, V4, ...., Vn genera V entonces V1, V2, V3, V4, ...., Vn, Vn+1 también genera el espacio vectorial V
Es un teorema usado en la determinación del límite de una función. Este teorema enuncia que si dos funciones tienden al mismo límite en un punto, cualquier otra función que pueda ser acotada entre las dos anteriores tendrá el mismo límite en el punto.
El teorema o criterio del sándwich es muy importante en demostraciones de cálculo y análisis matemático. Y es frecuentemente utilizado para encontrar el límite de una función a través de la comparación con otras dos funciones de límite conocido o fácilmente calculable. Fue utilizado por primera vez de forma geométrica por Arquímedes y Eudoxo en sus esfuerzos por calcular π, aunque la formulación moderna fue obra de Gauss.
Sea I un intervalo que contiene al punto a y sean f, g y h funciones definidas en I, exceptuando quizás el mismo punto a. Supongamos que para todox en I diferente de a tenemos:
Sean H y W dos subespacios vectoriales del espacio vectorial V entonces se cumple que H∩ W es un subespacio vectorial de V y H+W es un subespacio de V.
La suma de H+W es directa sí y sólo si H∩ W = {0v} es decir si dim(H∩ W) = 0
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita, y sea H y W, dos subespacios de V se cumple que dim(H+W) = dim(H)+dim(W) -dim(H∩ W)
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita, y sea H y W, dos subespacios de V
En matemáticas, una partición Π de un intervalo cerrado [a, b] en los números reales es una secuencia finita de la forma a = x0 < x1 < x2 <... < xn = b. Estas particiones se utilizan en la teoría de la integral de Riemann y la integral de Riemann-Stieltjes. Se dice que una partición Π' es más fina que una partición Π cuando Π es un subconjunto de Π', es decir, cuando la partición Π' tiene los mismos puntos que Π y posiblemente alguno más. Un ejemplo de partición sería el siguiente: Dado el intervalo [1, 2], una partición de dicho intervalo sería Π = {}. Otra posible partición para el mismo intervalo sería Π' = {}, con Π' más fina que Π, porque
En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f.
Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.
Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce como constante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:
En matemática, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.
La derivada de una función es la pendiente geométrica de la recta tangente del gráfico de en . Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar directamente la pendiente de la línea tangente a una función dada, porque solamente se conoce un punto en la línea tangente: . La idea es aproximar la línea tangente con múltiples líneas secantes que tienen distancias progresivamente más pequeñas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma el límite de las pendientes de las líneas secantes de esta progresión, se consigue la pendiente de la línea tangente. Se define, pues, la derivada tomando el límite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea tangente. Para encontrar las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige un número relativamente pequeño. representa un cambio relativamente pequeño en , el cual puede ser positivo o negativo. La pendiente de la recta que pasa por los dos puntos y es:
La derivada de f en x es entonces el límite del valor del cociente diferencial, conforme las líneas secantes se aproximan a la línea tangente:
Entradas
![[a,b]](https://upload.wikimedia.org/math/2/c/3/2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png)
![m \leq f(x) \leq M \; \forall x \in [a,b]](https://upload.wikimedia.org/math/1/e/1/1e1b2ad811ce2c15f191c634ded2afd9.png)
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