viernes, 27 de noviembre de 2015

Teorema del emparedado

Es un teorema usado en la determinación del límite de una función. Este teorema enuncia que si dos funciones tienden al mismo límite en un punto, cualquier otra función que pueda ser acotada entre las dos anteriores tendrá el mismo límite en el punto.

El teorema o criterio del sándwich es muy importante en demostraciones de cálculo y análisis matemático. Y es frecuentemente utilizado para encontrar el límite de una función a través de la comparación con otras dos funciones de límite conocido o fácilmente calculable. Fue utilizado por primera vez de forma geométrica por Arquímedes y Eudoxo en sus esfuerzos por calcular π, aunque la formulación moderna fue obra de Gauss.
Sea I un intervalo que contiene al punto a y sean f, g y h funciones definidas en I, exceptuando quizás el mismo punto a. Supongamos que para todox en I diferente de a tenemos:

   g(x) \leq f(x) \leq h(x)
y supongamos también que:

   \lim_{x \to a} g(x) =
   \lim_{x \to a} h(x) = L
Entonces:

   \lim_{x \to a} f(x) = L



Fuente:
https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_emparedado

miércoles, 25 de noviembre de 2015

Teoremas de Subespacios Vectoriales

Teoremas sobre subespacios vectoriales 

  • Sean H y W dos subespacios vectoriales del espacio vectorial V entonces se cumple  que HW es un subespacio vectorial de V y H+W es un subespacio de V. 
  • La suma de H+W es directa sí y sólo si H∩ W = {0v} es decir si dim(H∩ W) = 0
  • Sea V un espacio vectorial de dimensión finita, y sea H y W, dos subespacios de V se cumple que dim(H+W) = dim(H)+dim(W) -dim(H∩ W) 






  • Sea V un espacio vectorial de dimensión finita, y sea H y W, dos subespacios de V 
H+W C HUW




Primer Teorema Fundamental del Cálculo

Dada una función f integrable sobre el intervalo [a,b], definimos F sobre [a,b] por F(x) = {\int_{a}^x f(t)dt}. Si f es continua en c \in (a,b), entonces F es derivable en c y F'(c) = f(c).
Este teorema puede ser demostrado de la siguiente manera: 


Tenemos la siguiente hipótesis
Sea f integrable sobre [a,b] m \leq f(x) \leq M \; \forall x \in [a,b]
Entonces m(b-a) \leq {\int_a^b f(t)dt} \leq M(b-a)

Por definición se tiene que F'(c)={ \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{F(c+h)-F(c)}{h}} }.
Sea h>0. Entonces F(c+h)-F(c)={\int_c^{c+h} f(t)dt}.
Se define m_h y M_h como:
m_h = \inf\{f(x)| c\leq x \leq c+h\},
M_h = \sup\{f(x)| c\leq x \leq c+h\}
Aplicando el 'lema' se observa que
m_h \cdot h \leq {\int_c^{c+h} f(t)dt} \leq M_h \cdot h.
Por lo tanto,
m_h \leq \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \leq M_h
Sea h < 0. Sean
{m^*}_h = \inf \{ f(x)|c+h \leq x \leq c \},
{M^*}_h = \sup \{ f(x)|c+h \leq x \leq c \}.
Aplicando el 'lema' se observa que
{m^*}_h \cdot (-h) \leq {\int_{c+h}^c f(t)dt } \leq {M^*}_h \cdot (-h) .
Como
F(c+h)-F(c)={\int_c^{c+h} f(t)dt} = -{\int_{c+h}^{c} f(t)dt},
entonces,
{M^*}_h \cdot h \leq F(c+h)-F(c) \leq {m^*}_h \cdot h.
Puesto que h < 0, se tiene que
{m^*}_h \leq \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \leq {M^*}_h.
Y como f es continua en c se tiene que
\lim_{h \rightarrow 0} m_h = \lim_{h \rightarrow 0} M_h = \lim_{h \rightarrow 0} {m^*}_h = \lim_{h \rightarrow 0} {M^*}_h = f(c),
y esto lleva a que
F'(c)={ \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{F(c+h)-F(c)}{h}} } = f(c).



+

Partición de un intervalo

En matemáticas, una partición Π de un intervalo cerrado [a, b] en los números reales es una secuencia finita de la forma
a = x0 < x1 < x2 <... < xn = b.

Estas particiones se utilizan en la teoría de la integral de Riemann y la integral de Riemann-Stieltjes.
Se dice que una partición Π' es más fina que una partición Π cuando Π es un subconjunto de Π', es decir, cuando la partición Π' tiene los mismos puntos que Π y posiblemente alguno más.
Un ejemplo de partición sería el siguiente:

Dado el intervalo [1, 2], una partición de dicho intervalo sería
Π = {1, \frac{3}{2},\frac{5}{3}, 2}.
Otra posible partición para el mismo intervalo sería

Π' = {1, \frac{3}{2},\frac{5}{3}, \frac{7}{4}, 2}, con Π' más fina que Π, porque 

Integración indefinida



En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f.

Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.

Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce como constante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:

\int{f}   ó   \int{f(x)dx}






Derivada

En matemática, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.


La derivada de una función f\, es la pendiente geométrica de la recta tangente del gráfico de f\, en x\,. Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar directamente la pendiente de la línea tangente a una función dada, porque solamente se conoce un punto en la línea tangente: (x,f(x))\,. La idea es aproximar la línea tangente con múltiples líneas secantes que tienen distancias progresivamente más pequeñas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma el límite de las pendientes de las líneas secantes de esta progresión, se consigue la pendiente de la línea tangente. Se define, pues, la derivada tomando el límite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea tangente. Para encontrar las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige un número h\, relativamente pequeño. h\, representa un cambio relativamente pequeño en x\,, el cual puede ser positivo o negativo. La pendiente de la recta que pasa por los dos puntos  ( x, f(x) ) \, y  ( x+h, f(x+h) ) \, es:

Q(h) = {f(x + h) - f(x) \over h}
La derivada de f en x es entonces el límite del valor del cociente diferencial, conforme las líneas secantes se aproximan a la línea tangente:

\displaystyle f^\prime(x) = \lim_{h \to 0} {f(x + h) - f(x) \over h}



Fuente
https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada




Termodinamica

La termodinámica (del griego θερμo, termo, que significa «calor» y δύναμις, dínamis, que significa «fuerza»)2 es la rama de la física que describe los estados de equilibrio a nivel macroscópico.3 El Diccionario de la lengua española de la Real Academia Española, por su parte, define a la termodinámica como la rama de la física encargada del estudio de la interacción entre el calor y otras manifestaciones de la energía.4 Constituye una teoría fenomenológica, a partir de razonamientos deductivos, que estudia sistemas reales, sin modelizar y sigue un método experimental.5 Los estados de equilibrio se estudian y definen por medio de magnitudes extensivas tales como la energía interna, la entropía, el volumen o la composición molar del sistema,6 o por medio de magnitudes no-extensivas derivadas de las anteriores como la temperatura, presión y el potencial químico; otras magnitudes, tales como la imanación, la fuerza electromotriz y las asociadas con la mecánica de los medios continuos en general también pueden tratarse por medio de la termodinámica.

La termodinámica ofrece un aparato formal aplicable únicamente a estados de equilibrio, definidos como aquel estado hacia «el que todo sistema tiende a evolucionar y caracterizado porque en el mismo todas las propiedades del sistema quedan determinadas por factores intrínsecos y no por influencias externas previamente aplicadas».6 Tales estados terminales de equilibrio son, por definición, independientes del tiempo, y todo el aparato formal de la termodinámica –todas las leyes y variables termodinámicas– se definen de tal modo que podría decirse que un sistema está en equilibrio si sus propiedades pueden describirse consistentemente empleando la teoría termodinámica.6 Los estados de equilibrio son necesariamente coherentes con los contornos del sistema y las restricciones a las que esté sometido. Por medio de los cambios producidos en estas restricciones (esto es, al retirar limitaciones tales como impedir la expansión del volumen del sistema, impedir el flujo de calor, etc.), el sistema tenderá a evolucionar de un estado de equilibrio a otro;9 comparando ambos estados de equilibrio, la termodinámica permite estudiar los procesos de intercambio de masa y energía térmica entre sistemas térmicos diferentes.

Fuente
https://es.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A1mica