Gráfica de la función seno en el intervalo [0, 2π]

Teoremas de Subespacios Vectoriales

Teoremas sobre subespacios vectoriales 

• Sean H y W dos subespacios vectoriales del espacio vectorial V entonces se cumple  que H∩ W es un subespacio vectorial de V y H+W es un subespacio de V. 
• La suma de H+W es directa sí y sólo si H∩ W = {0v} es decir si dim(H∩ W) = 0
• Sea V un espacio vectorial de dimensión finita, y sea H y W, dos subespacios de V se cumple que dim(H+W) = dim(H)+dim(W) -dim(H∩ W) 

• Sea V un espacio vectorial de dimensión finita, y sea H y W, dos subespacios de V 

H+W C HUW

Primer Teorema Fundamental del Cálculo

Dada una función f integrable sobre el intervalo , definimos F sobre  por . Si f es continua en , entonces F es derivable en  y F'(c) = f(c).

Este teorema puede ser demostrado de la siguiente manera: 

Tenemos la siguiente hipótesis

Sea  integrable sobre  y 

Entonces 

Por definición se tiene que .

Sea h>0. Entonces .

Se define  y  como:

,

Aplicando el 'lema' se observa que

.

Por lo tanto,

Sea . Sean

,

.

Aplicando el 'lema' se observa que

.

Como

,

entonces,

.

Puesto que , se tiene que

.

Y como  es continua en c se tiene que

,

y esto lleva a que

.

+

Partición de un intervalo

En matemáticas, una partición Π de un intervalo cerrado [a, b] en los números reales es una secuencia finita de la forma
a = x₀ < x₁ < x₂ <... < x_n = b.

Estas particiones se utilizan en la teoría de la integral de Riemann y la integral de Riemann-Stieltjes.
Se dice que una partición Π' es más fina que una partición Π cuando Π es un subconjunto de Π', es decir, cuando la partición Π' tiene los mismos puntos que Π y posiblemente alguno más.
Un ejemplo de partición sería el siguiente:

Dado el intervalo [1, 2], una partición de dicho intervalo sería
Π = {}.
Otra posible partición para el mismo intervalo sería

Π' = {}, con Π' más fina que Π, porque 

Integración indefinida

En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f.

Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.

Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce como constante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:

   ó   

Derivada

En matemática, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.

La derivada de una función  es la pendiente geométrica de la recta tangente del gráfico de  en . Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar directamente la pendiente de la línea tangente a una función dada, porque solamente se conoce un punto en la línea tangente: . La idea es aproximar la línea tangente con múltiples líneas secantes que tienen distancias progresivamente más pequeñas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma el límite de las pendientes de las líneas secantes de esta progresión, se consigue la pendiente de la línea tangente. Se define, pues, la derivada tomando el límite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea tangente. Para encontrar las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige un número  relativamente pequeño.  representa un cambio relativamente pequeño en , el cual puede ser positivo o negativo. La pendiente de la recta que pasa por los dos puntos  y  es:

La derivada de f en x es entonces el límite del valor del cociente diferencial, conforme las líneas secantes se aproximan a la línea tangente:

Fuente

https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada

Termodinamica

La termodinámica (del griego θερμo, termo, que significa «calor» y δύναμις, dínamis, que significa «fuerza»)2 es la rama de la física que describe los estados de equilibrio a nivel macroscópico.3 El Diccionario de la lengua española de la Real Academia Española, por su parte, define a la termodinámica como la rama de la física encargada del estudio de la interacción entre el calor y otras manifestaciones de la energía.4 Constituye una teoría fenomenológica, a partir de razonamientos deductivos, que estudia sistemas reales, sin modelizar y sigue un método experimental.5 Los estados de equilibrio se estudian y definen por medio de magnitudes extensivas tales como la energía interna, la entropía, el volumen o la composición molar del sistema,6 o por medio de magnitudes no-extensivas derivadas de las anteriores como la temperatura, presión y el potencial químico; otras magnitudes, tales como la imanación, la fuerza electromotriz y las asociadas con la mecánica de los medios continuos en general también pueden tratarse por medio de la termodinámica.

La termodinámica ofrece un aparato formal aplicable únicamente a estados de equilibrio, definidos como aquel estado hacia «el que todo sistema tiende a evolucionar y caracterizado porque en el mismo todas las propiedades del sistema quedan determinadas por factores intrínsecos y no por influencias externas previamente aplicadas».6 Tales estados terminales de equilibrio son, por definición, independientes del tiempo, y todo el aparato formal de la termodinámica –todas las leyes y variables termodinámicas– se definen de tal modo que podría decirse que un sistema está en equilibrio si sus propiedades pueden describirse consistentemente empleando la teoría termodinámica.6 Los estados de equilibrio son necesariamente coherentes con los contornos del sistema y las restricciones a las que esté sometido. Por medio de los cambios producidos en estas restricciones (esto es, al retirar limitaciones tales como impedir la expansión del volumen del sistema, impedir el flujo de calor, etc.), el sistema tenderá a evolucionar de un estado de equilibrio a otro;9 comparando ambos estados de equilibrio, la termodinámica permite estudiar los procesos de intercambio de masa y energía térmica entre sistemas térmicos diferentes.

Fuente

https://es.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A1mica